Question

已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx（x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的方程f（x）-m=0有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=log₂（4^x+1）+2kx（k∈R）是偶函数
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-2kx=f（x）=log₂（4^x+1）+2kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-2kx=log₂（4^x+1）+2kx恒成立
解得k=-；
（2）由（1）知，f（x）=log₂（4^x+1）-x
∴f（x）-m=0等价于m=log₂（4^x+1）-x
∵log₂（4^x+1）-x=≥1
∴要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥1．
分析：（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得实数k的值；
要使方程f（x）-m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来，利用基本不等式，即可求实数m的取值范围．
点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．