Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，当0＜a≤

1

2

时，讨论函数的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：求出导数，并分解因式，讨论当a=

1

2

时，0＜a＜

1

2

时，两根的大小，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意函数的定义域．

解答： 解：f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1的导数为：
f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

=-

ax2-x+(1-a)

x2

=-

(x-1)(ax-1+a)

x2

（x＞0），
由于0＜a≤

1

2

，
则当a=

1

2

时，f′（x）=-

(x-1)2

2x2

＜0，f（x）在x＞0上递减；
当0＜a＜

1

2

时，1＜

1-a

a

，
由f′（x）＞0解得，1＜x＜

1-a

a

，
由f′（x）＜0解得，0＜x＜1或x＞

1-a

a

，
综上可得，当a=

1

2

时，f（x）在（0，+∞）上递减；
当0＜a＜

1

2

时，f（x）在（1，

1-a

a

）上递增，在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上递减．

点评：本题考查导数的运用：求单调性，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．