Question

9．设函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax，其中a＞0，证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数．

Answer 1

分析 当a≥1时，利用函数单调性的定义，即：在区间[0，+∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂，证明f（x₁）-f（x₂）＞0，从而证明函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数．

解答 证明：在区间[0，+∞）上任取x₁，x₂，
使得x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}$-a（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$-a），
∵$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$＜1，且a≥1，
∴$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$-a＜0，
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以，当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递减函数．

点评 本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．