Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性并求极值；

（Ⅱ）若点在函数上，当，且时，证明： （是自然对数的底数）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ) 当时， ， 在上单调递增，无极值，当时，令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（Ⅱ）由点在函数上，可得，利用导数研究函数的单调性，从而可得，得恒成立，取， ，化简可得结果.

试题解析：（Ⅰ）由题，得.

当时， ， 在上单调递增，无极值；

当时，令，得.

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增.

的极小值为，无极大值；

（Ⅱ），代入点， .

.

.

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增.

.

恒成立，

即恒成立.

，令.

.

，即，

.