Question

【题目】（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.

Answer 1

【答案】(1) 在单调递增，(2) 的值域是

【解析】试题分析：（1）求出f（x）的定义域，对原函数求导，利用导函数恒大于等于0可得f（x）的单调性；

（2）求出由（1）知， 单调递增，又由函数零点存在定理可得存在唯一，使得，则当时， ， 单调递减；当时， ， ， 单调递增.求出函数最小值，再由最小值为关于a的增函数可得的值域.

试题解析：

（1）的定义域为

，

当且仅当时， ，

所以在单调递增.

（2），

由（1）知， 单调递增，

对任意， ， ，

因此，存在唯一，使得，即，

当时， ， 单调递减；

当时， ， ， 单调递增.

因此在处取得最小值，最小值为

.

于是，由，知单调递增

所以，由，得.

因为单调递增，对任意，存在唯一的， ，

使得，所以的值域是，

综上，当时， 有最小值， 的值域是.