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    【题目】已知函数.

    （1）当时，求证：恒成立；

    （2）若关于的方程至少有两个不相等的实数根，求实数的最小值.

    【答案】（1）见证明；（2）3

    【解析】

    （1）当时，，求导，研究函数单调性，求最值，证明不等式；（2）将方程转化为，构造函数，求导数，研究函数单调性及取值范围，数形结合得的最小值

    （1）证明：当时，，，

    令，所以当时，，单调递增；

    当时，，单调递减.

    故，所以.

    （2） 至少有两个根，

    记，所以，

    记，所以，

    令舍）

    所以当，，单调递减，时，，

    单调递增，所以的最小值为

    ，

    又，所以时，，

    又当时， ，因此必存在唯一的

    ，使得.

    因此时，，单调递増，，，单调递减，时，，单调递増，画出的大致图象，如图所示

    因此当时，与至少有两个交点，

    所以的最小值为.

    练习册系列答案
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    非围棋迷

    围棋迷

    合计

    男

    女

    10

    55

    合计

    （Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为。若每次抽取的结果是相互独立的，求的平均值和方差.

    附： ，其中.

    0.05

    0.01

    3.841

    6.635

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    【题目】已知函数.

    （Ⅰ）讨论的单调性并求极值；

    （Ⅱ）若点在函数上，当，且时，证明： （是自然对数的底数）

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    甲： ， ， ， ， ， ， ，

    乙： ， ， ， ， ， ， ，

    （）用茎叶图表示这两组数据．

    （）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由．

    （）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这次成绩中高于分的次数为，求的分布列及数学期望．

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    （1）求的值，并直接写出表达式；

    （2）求甲水厂每天的利润不少于万元的概率.

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