Question

8．若二项式${（{a{x^2}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^6}（{a＞0}）$展开式中的含x²的项的系数为60．则$\int{\begin{array}{l}a\\{-1}\end{array}}（{{x^2}-2x}）dx$=0．

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项写出展开式中x²项的系数，列方程求出a的值，再求定积分的值．

解答 解：设${（{a{x^2}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^6}$展开式的通项为：
${T_{k+1}}=C_6^k{（{a{x^2}}）^{6-k}}{（{-{x^{-\frac{1}{2}}}}）^k}=C_6^k{a^{6-k}}{（{-1}）^k}{x^{12-\frac{5}{2}k}}$，
令$12-\frac{5}{2}k=2$，求得k=4；
于是展开式中x²项的系数为$C_6^k{a^2}=15{a^2}$，
则15a²=60，
注意到a＞0，求得a=2；
所以${∫}_{-1}^{a}$（x²-2x）dx=${∫}_{-1}^{2}$（x²-2x）dx
=（$\frac{1}{3}$x³-x²）${|}_{-1}^{2}$
=（$\frac{1}{3}$×2³-2²）-[$\frac{1}{3}$×（-1）³-（-1）²]
=-$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$
=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是基础题目．