Question

17．各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足：a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=1，a₂=3，则数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．

Answer 1

分析 利用等差数列和等比数列中项的性质，运用等差数列的定义证明数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}是等差数列．再利用等差数列的通项公式求出$\sqrt{{b}_{n}}$的通项公式，进而求出b_n，a_n．

解答 解：∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n•b_n+1②．
由②得a_n+1=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=$\sqrt{{b}_{n-1}{b}_{n}}$+$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$．
∵b_n＞0，
∴2$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n+1}}$，
∴{$\sqrt{{b}_{n}}$}是等差数列．
设数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}的公差为d，
由a₁=1，b₁=2，a₂=3，得b₂=$\frac{9}{2}$．
∴$\sqrt{{b}_{1}}$=$\sqrt{2}$，$\sqrt{{b}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
d=$\sqrt{{b}_{2}}$-$\sqrt{{b}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n-1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1），
∴b_n=$\frac{1}{2}$（n+1）²，
a_n=$\sqrt{{b}_{n-1}{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
故答案为：${a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．

点评 本题考查了等差、等比数列的通项公式，利用构造等差数列法求得数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}的通项公式是解答本题的突破口，本题还考查了学生的运算能力，运算要细心．