Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+3，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f（f（x））-2=0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． [1，3]
• C． （-1，-$\frac{1}{3}$]
• D． [-1，-$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 令f（t）=2，解出t，则f（x）=t，讨论k的符号，根据f（x）的函数图象得出t的范围即可．

解答 解：令f（t）=2得t=-1或t=-$\frac{1}{k}$（k≠0）．
∵f（f（x））-2=0，∴f（f（x））=2，
∴f（x）=-1或f（x）=-$\frac{1}{k}$（k≠0）．
（1）当k=0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）=-1无解，即f（f（x））-2=0无解，不符合题意；
（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）=-1无解，f（x）=-$\frac{1}{k}$无解，即f（f（x））-2=0无解，不符合题意；
（3）当k＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）=-1有1解，
∵f（f（x））-2=0有3解，∴f（x）=-$\frac{1}{k}$有2解，
∴1$＜-\frac{1}{k}≤3$，解得-1＜k≤-$\frac{1}{3}$．
综上，k的取值范围是（-1，-$\frac{1}{3}$]．
故选C．

点评 本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，数形结合思想，属于中档题．