Question

1．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（II）求证：AC⊥平面BCE； 
（Ⅲ）求二面角F-BC-D平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）由AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，得AF∥平面BCE．                                                                                                                
（II）过C作CM⊥AB，垂足为M，由AC²+BC²=AB²，得AC⊥BC；再证BE⊥AC，即可得到AC⊥平面BCE．
（III∠FCA为二面角F-BC-D平面角的平面角，在Rt△AFC中，求得二面角F-BC-D平面角的余弦值

解答 解：（I）因为四边形ABEF为矩形，所以AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，
    所以AF∥平面BCE．                                                                                                                
（II）过C作CM⊥AB，垂足为M，
因为AD⊥DC所以四边形ADCM为矩形．所以AM=MB=2，又因为AD=2，AB=4所以AC=2$\sqrt{2}$，CM=2，BC=2$\sqrt{2}$
所以AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC；
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，
又因为BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B所以AC⊥平面BCE．
（III）∵FA⊥面ABCD，AC⊥BC，∴∠FCA为二面角F-BC-D平面角的平面角，在Rt△AFC中，cos∠ACF=$\frac{AF}{FC}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
二面角F-BC-D平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$

点评 本题考查了空间线面平行、线面垂直的判定，及几何法求二面角，属于基础题．