Question

11．设a＞0，b＞0，若$\sqrt{2}$是4^a和2^b的等比中项，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为9．

Answer 1

分析 $\sqrt{2}$是4^a和2^b的等比中项，可得4^a•2^b=$（\sqrt{2}）^{2}$，2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：$\sqrt{2}$是4^a和2^b的等比中项，∴4^a•2^b=$（\sqrt{2}）^{2}$，∴2a+b=1．
又a＞0，b＞0，
则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=（2a+b）$（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）$=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥5+2×$2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=9，当且仅当a=b=$\frac{1}{3}$时取等号．
则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查了等比数列的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．