Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右顶点分别为A₁，A₂，点M为椭圆上不同于A₁，A₂的一点，若直线MA₁，MA₂与直线的斜率之积为$-\frac{1}{2}$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 设出M坐标，由直线AM，BM的斜率之积为-$\frac{1}{2}$得一关系式，再由点M在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得椭圆的离心率．

解答 解：由椭圆方程可知，A（-a，0），B（a，0），
设M（x₀，y₀），∴${k}_{AM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，${k}_{BM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
则$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{2}$，整理得：$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得${{y}_{0}}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，
即$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，②
联立①②，得-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．