Question

2．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导函数，且满足f（x）+f′（x）＞2，f（1）=2+$\frac{4}{e}$，则不等式e^xf（x）＞4+2e^x的解集为（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 可构造函数令g（x）=e^xf（x）-2e^x-4，然后求导，根据条件即可得出g′（x）＞0，进而得出函数g（x）在R上单调递增，并求出g（1）=0，这样便可求出原不等式的解集．

解答 解：令g（x）=e^xf（x）-2e^x-4，g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-2e^x=e^x[f（x）+f′（x）-2]；
∵f（x）+f′（x）＞2；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在R上单调递增；
$f（1）=2+\frac{4}{e}$；
∴$g（1）=e（2+\frac{4}{e}）-2e-4=0$；
∴x＞1时，g（x）＞0；
∴原不等式的解集为（1，+∞）．
故选B．

点评 考查导函数的概念，构造函数解决问题的方法，积的函数的求导公式，函数导数符号和函数单调性的关系．