Question

12．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P-ABC的体积最大时，设二面角P-AB-C的大小为θ，则sinθ=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{3}$

Answer 1

分析 AC为球O的直径，当三棱锥P-ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P-AB-C的平面角．

解答 解：如图所示：由已知得球的半径为2，
AC为球O的直径，当三棱锥P-ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，
过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P-AB-C的平面角，
在△ABC△中，PO=2，OD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，∴$PD=\sqrt{6}$，sinθ=$\frac{PO}{PD}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：C

点评 本题考查了与球有关的组合体，关键是要画出图形，找准相应的线线、线面位置关系．属于难题．