Question

4．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）x＞0}\\{-f（x）x＜0}\end{array}\right.$，求F（2）+F（-2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]恒成立，试求b取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（-2）的值；
（2）由于函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x²+bx，进而在满足|f（x）|≤1在区间（0，1]恒成立时，求出即可．

解答 解：（1）因为f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1
所以$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{f（-1）=a-b+1=0}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
因为 F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）x＞0}\\{-f（x）x＜0}\end{array}\right.$，
所以F（2）+F（-2）=8．
（2）由题知f（x）=x²+bx，原命题等价于-1≤x²+bx≤1在x∈（0，1]恒成立，
即b≤$\frac{1}{x}$-x且b≥-$\frac{1}{x}$-x在x∈（0，1]恒成立，
根据单调性可得$\frac{1}{x}$-x的最小值为0，
-$\frac{1}{x}$-x的最大值为-2，
所以-2≤b≤0．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题，运算量较大，综合性较强，难度较大．