Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-a_n，数列{b_n}满足b_n=log₄a₁+log₄a₂+…+log₄a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）判断数列是等比数列，求出通项公式．
（2）求出数列{b_n}的通项公式，化简数列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}\right\}$的通项公式，然后求解数列的和即可．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-a_n，
可得S_n-1=1-a_n-1，两式相减可得：2a_n=a_n-1，所以数列{a_n}是等比数列公比为：$\frac{1}{2}$，S₁=1-a₁，
首项为：$\frac{1}{2}$，
a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（2）b_n=log₄a₁+log₄a₂+…+log₄a_n=log₄（a₁a₂…+a_n）
=log₄$（\frac{1}{2}）^{1+2+3+…+n}$=$-\frac{n（n+1）}{4}$．
数列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}\right\}$的通项公式为：2ⁿ-$\frac{4}{n（n+1）}$，

数列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-$4（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-4（1-$\frac{1}{n+1}$）
=${2}^{n+1}+\frac{4}{n+1}-6$．

点评 本题考查数列求和，等差数列以及等比数列求和公式的应用，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．