Question

1．若直线ax-y=0（a≠0）与函数$f（x）=\frac{{2{{cos}^2}x+1}}{{ln\frac{2+x}{2-x}}}$图象交于不同的两点A，B，且点C（6，0），若点D（m，n）满足$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CD}$，则m+n=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． a

Answer 1

分析 先判断函数的奇偶性，再根据奇偶性得到A，B关于原点对称，即可得到x_A+x_B=0，y_A+y_B=0，根据向量的坐标运算即可求出m，n的值，问题得以解决．

解答 解：∵f（-x）=$\frac{2co{s}^{2}（-x）+1}{ln\frac{2-x}{2+x}}$=-$\frac{2co{s}^{2}x+1}{ln\frac{2+x}{2-x}}$=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵直线ax-y=0（a≠0）通过坐标原点，
∴A，B关于原点对称，
即x_A+x_B=0，y_A+y_B=0，
∵点C（6，0），点D（m，n），
∴$\overrightarrow{DA}$=（x_A-m，y_A-n），$\overrightarrow{DB}$=（x_B-m，y_B-n），$\overrightarrow{CD}$=（m-6，n），
∵$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CD}$，
∴x_A-m+x_B-m=m-6，y_A-n+y_B-n=n，
∴m=2，n=0，
∴m+n=2，
故选：B

点评 本题考查了向量的坐标运算、函数的奇偶性，属于中档题．