Question

8．已知函数$f（x）=\frac{3x}{2x+3}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列；
（3）设数列{b_n}满足b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若${S_n}＜\frac{m-2015}{2}$对一切n∈N^*成立，求最小正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=f（a_n）=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，代值计算即可，
（2）由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）b_n=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂项求和”可得S_n，再利用向数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）a₁=1，a_n+1=f（a_n）=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，
∴a₂=$\frac{3×1}{2×1+3}$=$\frac{3}{5}$，a₃=$\frac{3×\frac{3}{5}}{2×\frac{3}{5}+3}$=$\frac{3}{7}$，a₄=$\frac{3×\frac{3}{7}}{2×\frac{3}{7}+3}$=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$，
（2）证明：由a_n+1=f（a_n）=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，
得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以首项为1，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列；
（3）由（2）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$（2n+1）
∴a_n=$\frac{3}{2n+1}$，
当n≥2时，b_n=a_n-1•a_n=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
当n=1时，上式同样成立，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）≤$\frac{9}{2}$，
∵${S_n}＜\frac{m-2015}{2}$对一切n∈N^*成立，
∴$\frac{9}{2}$≤$\frac{m-2015}{2}$，
∴m≥2024，
∴最小正整数m的值为2024．

点评 本题考查了等差数列通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．