Question

16．若实数a，b，c满足（a-2b-1）²+（a-c-lnc）²=0，则|b-c|的最小值是1．

Answer 1

分析 （a-2b-1）²+（a-c-lnc）²=0，可得a=2b+1，a=c+lnc.2b+1=c+lnc，|b-c|=$\frac{|1+c-lnc|}{2}$，令f（c）=1+c-lnc（c＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵（a-2b-1）²+（a-c-lnc）²=0，∴a=2b+1，a=c+lnc．
∴2b+1=c+lnc，
b=$\frac{c+lnc-1}{2}$．
∴|b-c|=$\frac{|1+c-lnc|}{2}$，
令f（c）=1+c-lnc（c＞0），
f′（c）=1-$\frac{1}{c}$=$\frac{c-1}{c}$，
可得：c=1时，函数f（c）取得极小值即最小值，f（1）=2＞0．
∴|b-c|=$\frac{|1+c-lnc|}{2}$≥1，
故答案为：1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．