Question

6．已知函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是[-$\frac{2}{e}$，2e]．

Answer 1

分析 设M（x，kx），则N（x，2e-kx），推导出k=-$\frac{2}{x}$lnx，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），
f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=e对称，
∴设M（x，kx），则N（x，2e-kx），
∴2e-kx=2lnx+2e，∴k=-$\frac{2}{x}$lnx，
k′=$\frac{-2+2lnx}{{x}^{2}}$，由k′=0，得x=e，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e²，∴x∈[$\frac{1}{e}$，e）时，k′＜0，k=-$\frac{2}{x}$lnx是减函数；
x∈（e，e²]时，k′＞0，k=-$\frac{2}{x}$lnx是增函数，
∴x=e时，k=-$\frac{2}{e}$lne=-$\frac{2}{e}$；x=e²时，k=-$\frac{2}{{e}^{2}}$lne²=-$\frac{4}{{e}^{2}}$；x=$\frac{1}{e}$时，k=-$\frac{2}{\frac{1}{e}}$ln$\frac{1}{e}$=2e，
∴k_min=-$\frac{2}{e}$，k_max=2e．
∴实数k的取值范围是[-$\frac{2}{e}$，2e]．
故答案为：$[-\frac{2}{e}，2e]$

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．