Question

20．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$．
（1）写出圆C的参数方程和直线l的普通方程；
（2）设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；
（2）由题意设P（$1+\sqrt{2}cosα$，$1+\sqrt{2}sinα$），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．

解答 解：（1）∵圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=2，
∴圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∵直线l的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，
∴$ρ（\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ）=2\sqrt{2}$，即ρsinθ+ρcosθ-4=0，
∴直线l的普通方程是x+y-4=0；
（2）由题意设P（$1+\sqrt{2}cosα$，$1+\sqrt{2}sinα$），
∴点P到直线l距离d=$\frac{|1+\sqrt{2}cosα+1+\sqrt{2}sinα-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$
=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{4}）-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}|sin（α+\frac{π}{4}）-1|$，
∵$-1≤sin（α+\frac{π}{4}）≤1$，∴$0≤\sqrt{2}|sin（α+\frac{π}{4}）-1|≤2\sqrt{2}$，
即$0≤d≤2\sqrt{2}$，
∴点P到直线l距离的取值范围是[0，$2\sqrt{2}$]．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程法转化，点到直线的距离公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的值域等，考查化归与转化思想，化简、计算能力．