已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.左.右焦点分别为F1.F2.以原点为圆心.椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)若不过原点且斜率存在的直线l交椭圆C于点G.H.且△OGH的面积为1.线段GH的中点为P.在x轴上是否存在关于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，左，右焦点分别为F₁，F₂，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不过原点且斜率存在的直线l交椭圆C于点G，H，且△OGH的面积为1，线段GH的中点为P，在x轴上是否存在关于原点对称的两个定点M，N，使得直线PM，PN的斜率之积为定值？若存在，求出两定点M，N的坐标和定值的大小；若不存在，请说明理由．

分析（Ⅰ）利用椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨GH丨，再由点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得△OGH的面积，求得1+4k²-2m²=0，根据中点坐标公式及直线的斜率公式求得s和t的值，使得直线PM，PN的斜率之积为定值，定值为$-\frac{1}{4}$．

解答解：（Ⅰ）依题意知$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则${e^2}=\frac{c^2}{a^2}-\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$，即a²=4b²．
又以原点为圆点，椭圆C的短半轴长为半径的圆为由圆x²+y²=b²，
由圆x²+y²=b²与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切，得$b=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-1}）}^2}}}}=1$．
所以a²=4b²=4．
于是所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+y=1$．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
则$△={（{8km}）^2}-4（{1+4{k^2}}）（{4{m^2}-4}）=16（{4{k^2}+1-{m^2}}）＞0，{x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$．
根据弦长公式知丨GH丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$
又根据点到直线的距离公式知原点O到直线y=kx+m的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}$．
于是△OGH的面积为$S=\frac{1}{2}•|{GH}|•\frac{|m|}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}=\frac{{2|m|•\sqrt{4{k^2}+1-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}=1$．
整理得（1+4k²-2m²）²=0，所以1+4k²-2m²=0．①
又线段GH的中点$P（{-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}，\frac{m}{{1+4{k^2}}}}）$，即$P（{-\frac{2k}{m}，\frac{1}{2m}}）$．
假设存在满足条件的定点M，N，不妨设M（s，0），N（-s，0）（s＞0），
直线PM，PN的斜率之积为t，
则有$t={k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{\frac{1}{2m}}}{{-\frac{2k}{3}-s}}×\frac{{\frac{1}{2m}}}{{-\frac{2k}{m}+s}}$=$\frac{1}{{4（{4{k^2}-{s^2}{m^2}}）}}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{s=\sqrt{2}}\\{t=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$．
∴存在两定点$M（{-\sqrt{2}，0}），N（{\sqrt{2}，0}）$，使得直线PM，PN的斜率之积为定值，定值为$-\frac{1}{4}$．

点评本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线的斜率公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．

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A．

-1

B．

C．

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D．

$\frac{11}{2}$

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A．

$\frac{1}{4}$

B．

$\frac{1}{3}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

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