Question

15．在△ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{NM}$，若$\overrightarrow{AN}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}（{λ，μ∈R}）$，则λ+μ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，（0≤t≤1），$\overrightarrow{AN}$用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．

解答 解：$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，（0≤t≤1），$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{NM}$，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1-t}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AN}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}（{λ，μ∈R}）$，
∴λ+μ=$\frac{1-t}{4}$+$\frac{t}{4}$=$\frac{1}{4}$，
故选：A

点评 本题主要考查了平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．