Question

4．设函数$f（x）=sinxcosx-{sin^2}（x-\frac{π}{4}）（x∈R）$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$f（\frac{C}{2}）=0$，c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的有关公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增减区间上，解不等式得函数的单调增减区间；
（2）根据$f（\frac{C}{2}）=0$，求解C角大小，利用余弦定理建立关系，根据基本不等式求解△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）函数$f（x）=sinxcosx-{sin^2}（x-\frac{π}{4}）（x∈R）$．
化简可得：$f（x）=\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}[1-cos（2x-\frac{π}{2}）]$=$sin2x-\frac{1}{2}$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈z）$，
则$kπ-\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{π}{4}（k∈z）$
即f（x）的递增区间为$[kπ-\frac{π}{4}，kπ+\frac{π}{4}]（k∈z）$，
令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{3π}{2}（k∈z）$，
则$kπ+\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{3π}{4}（k∈z）$
可得f（x）的递减区间为$[kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{3π}{4}]（k∈z）$
（2）由$f（\frac{C}{2}）=0$得，$sinc=\frac{1}{2}$，
∵△ABC是锐角三角形，∴$C=\frac{π}{6}$
由余弦定理得 c²=a²+b²-2abcosC，将c=2，$c=\frac{π}{6}$代入得  $4={a^2}+{b^2}-\sqrt{3}ab$
由基本不等式得${a^2}+{b^2}=4+\sqrt{3}ab≥2ab$，即$ab≤4（2+\sqrt{3}）$
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}•4（2+\sqrt{3}）•\frac{1}{2}=2+\sqrt{3}$，
即△ABC面积的最大值为$2+\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，同时考查余弦定理，基本不等式求解最大值问题．属于中档题．