Question

12．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是菱形，AB=2A₁B₁，AA₁⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥C₁C；
（2）求证：C₁C∥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥平面ABCD，可证AA₁⊥BD．四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可证BD⊥面ACC₁A₁，再由线面垂直的性质定理可证BD⊥CC₁． 
（2）连接AC和A₁C₁，设AC∩BD=E，先证明四边形ECC₁A₁为平行四边形，可得CC₁∥A₁E，再由线面平行的判定定理可证CC₁∥平面A₁BD．

解答 证明：（1）∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又 AC∩AA₁=A，∴BD⊥面ACC₁A₁．
由CC₁?面ACC₁A₁，
∴BD⊥CC₁．                             
（2）连接AC和A₁C₁，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A₁B₁，可得 EC∥A₁C₁，且 EC=A₁C₁，
故ECC₁A₁为平行四边形，∴CC₁∥A₁E，而CC₁?平面A₁BD，A₁E?平面A₁BD，
∴CC₁∥平面A₁BD．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定定理、线面平行、垂直的性质定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．