Question

20．某大学有甲、乙两个校区．从甲校区到乙校区有A、B两条道路．已知开车走道路A遭遇堵车的概率为$\frac{1}{5}$；开车走道路B遭遇堵车的概率为p．现有张、王、李三位教授各自开车从甲校区到乙校区给学生上课，张教授、王教授走道路A，李教授走道路B，且他们是否遭遇堵车相互之间没有影响．若三人中恰有一人遭遇堵车的概率为$\frac{2}{5}$．求：（I）走道路B遭遇堵车的概率p；
（Ⅱ）三人中遭遇堵车的人数X的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）由题意可知：走道路A遭遇堵车的概率为$\frac{1}{5}$，不堵车的概率为$\frac{4}{5}$；开车走道路B遭遇堵车的概率为p，不堵车的概率为1-p．三人是否遭遇堵车相互之间没有影响．可得${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$×（1-p）+$（\frac{4}{5}）^{2}•p$=$\frac{2}{5}$，解得p．
（II）由题意可得：X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}$，P（X=1）=$\frac{2}{5}$，P（X=2）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$，P（X=3）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$．即可堵车X的分布列与数学期望．

解答 解：（I）由题意可知：走道路A遭遇堵车的概率为$\frac{1}{5}$，不堵车的概率为$\frac{4}{5}$；
开车走道路B遭遇堵车的概率为p，不堵车的概率为1-p．三人是否遭遇堵车相互之间没有影响．
∴${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$×（1-p）+$（\frac{4}{5}）^{2}•p$=$\frac{2}{5}$，解得p=$\frac{1}{4}$．
（II）由题意可得：X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{12}{25}$，P（X=1）=$\frac{2}{5}$，P（X=2）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{11}{100}$，
P（X=3）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{100}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{12}{25}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{11}{100}$	$\frac{1}{100}$

∴EX=0×$\frac{12}{25}$+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{11}{100}$+3×$\frac{1}{100}$=$\frac{13}{20}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．