Question

8．如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=60°．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC₁所在直线上的一点，若二面角A-B₁E-B的正弦值为$\frac{1}{2}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB⊥BC₁，在△CBC₁中，由余弦定理求解B₁C，然后证明BC⊥BC₁，利用直线与平面垂直的判定定理证明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）通过AB，BC，BC₁两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB₁E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB₁C₁C，BC₁⊆平面BB₁C₁C，所以AB⊥BC₁，…（1分）
在△CBC₁中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=60°，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12-2BC•CC1•cos∠BCC1=1²+2²-2×1×2×cos60°=3，
所以B₁C=$\sqrt{3}$，…（3分）
故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC₁，…（5分）
又BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC₁两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC₁所在直线
为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，$\sqrt{3}$），B1（-1，0，$\sqrt{3}$）（7分）
$\overrightarrow{C{C}_{1}}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（-1，-1，\sqrt{3}）$，令$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{C{C}_{1}}（0≤λ≤1）$，∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=（1-λ，-1，\sqrt{3}λ）$，
$\overrightarrow{CE}=（-λ，0，\sqrt{3}λ）$，
设平面AB₁E的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$．
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=（1-λ）X-Y+\sqrt{3}λ=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，则x=$\frac{3-3λ}{2-λ}$，y=$\frac{3}{2-λ}$，
∴$\overrightarrow{n}=（\frac{3-3λ}{2-λ}，\frac{3}{2-λ}，\sqrt{3}）$，．∵AB⊥平面BB₁C₁C，$\overrightarrow{BA}$是平面的一个法向量，
|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BA}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，两边平方并化简得2λ²-5λ+3=0，所以λ=1或$\frac{3}{2}$．
∴CE=CC₁=2或CE=$\frac{3}{2}$CC₁=3．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的向量求解方法，考查空间想象能力计算能力以及逻辑推理能力．