Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，设点F₁，F₂与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B，P为椭圆C上三点，满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y=x+1与轨迹E交于M，N两点，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=2，即可求出b=2，即可求出椭圆的标准方程，
（2）设A（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），B（2$\sqrt{2}$cosβ，2sinβ），根据题意和点P在椭圆上，化简整理可得a-β=$\frac{π}{2}$，再根据中点坐标公式，消α，线段AB中点Q的轨迹为E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，再设M，N两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），根据弦长公式即可求出．

解答 解：（1）∵点F₁，F₂与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．
∴2c=4，b=2，
故c=2，a=2$\sqrt{2}$，
故椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设A（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），B（2$\sqrt{2}$cosβ，2sinβ），
∵$\overrightarrow{OP}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{6\sqrt{2}cosα+8\sqrt{2}cosβ}{5}$，$\frac{6sinα+8sinβ}{5}$），
∵点P在椭圆上，
∴（3cosα+4cosβ）²+（3sinα+4sinβ）²=25，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=0，
∴cos（α-β）=0，
∴a-β=$\frac{π}{2}$，
∴B（2$\sqrt{2}$sinα，-2cosα），
∴AB中点Q的坐标为（$\sqrt{2}$cosα+$\sqrt{2}$sinα，sinα-cosα），
设Q的点坐标为（x，y），
∴x=$\sqrt{2}$cosα+$\sqrt{2}$sinα，y=sinα-cosα，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$=cos²α+2cosαsinα+sin²α=1+2cosαsinα，y²=cos²α-2cosαsinα+sin²α=1-2cosαsinα
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=2，
 即线段AB中点Q的轨迹为E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
设M，N两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，消y，整理得5x²+8x-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{5}$，x₁x₂=-$\frac{4}{5}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64}{25}+\frac{16}{5}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的方程，弦长公式，以及点的轨迹方程，关键是巧设点的坐标，属于难题．