Question

7．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，其左焦点F在直线l上．
（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；
（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）将直线l和椭圆C的转化为普通方程，左焦点F在直线l上，求解出直线1方程与椭圆C联立方程组，求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式求解|FA|•|FB|的值．（也可以利用参数的几何意义做）．
（2）设椭圆在第一象限上一点P（acosθ，bsinθ），内接矩形周长为：L=4（acosθ+bsinθ）=4$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（θ+φ），可得答案．

解答 解：（1）由椭圆C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
可得x²+3y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．其左焦点为（-2$\sqrt{2}$，0）．直线l消去参数t可得：x-y=m，
∵左焦点F在直线l上，
∴直线l方程为：x-y=-2$\sqrt{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x-y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$），B（$-\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$）
那么|FA|•|FB|=2．
法二：几何法：
∵左焦点为（-2$\sqrt{2}$，0）．
左焦点F在直线l上，带入参数方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
将直线参数方程带入椭圆x²+3y²=12，可得：t²-2t-2=0．
那么|FA|•|FB|=|t₁t₂|=2
（2）设椭圆在第一象限上一点P（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），（$0＜θ＜\frac{π}{2}$）
内接矩形周长为：L=8$\sqrt{3}$cosθ+8sinθ）=16sin（θ+$\frac{π}{3}$），
∴当$θ=\frac{π}{6}$时，周长取得最大值为为16．
∴椭圆C的内接矩形周长的最大值为16．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．