Question

3．如图，等边三角形ABC与等腰直角三角形DBC公共边BC，BC=$\sqrt{2}$，DB=DC，AD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：BC⊥AD；
（2）求点B到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点为E，连接AE、DE．通过证明BC⊥平面AED，然后证明BC⊥AD．
（2）设点B到平面ACD的距离为h．由余弦定理求出cos∠ADE，求出底面面积，利用棱锥的体积的和，转化求解即可．

解答 解：（1）证明：取BC的中点为E，连接AE、DE．
$\left.\begin{array}{l}由△ABC为等边三角形⇒BC⊥AE\\ 由DB=DC⇒DE⊥BC\\ 又AE∩DE=E\end{array}\right\}$，
$\left.\begin{array}{l}⇒BC⊥平面AED\\ 又AD⊆平面AED\end{array}\right\}⇒BC⊥AD$…（5分）
（2）设点B到平面ACD的距离为h．
由$AD=\sqrt{3，}AC=\sqrt{2}，CD=1⇒A{D^2}=A{C^2}+C{D^2}$，
$⇒△ADC是直角三角形⇒{S_{△ADC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
在△ADE中，$AE=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，DE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，AD=\sqrt{3}$
由余弦定理AD²=AE²+DE²-2AE•DE•cos∠ADE
$⇒cos∠AED=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}⇒sin∠AED=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
$⇒{S_{△AED}}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
$⇒{V_{三棱锥A-BCD}}=2{V_{三棱锥B-AED}}=2×\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{4}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{6}$，
由${V_{三棱锥B-ACD}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×h=\frac{1}{6}⇒h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查空间直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．