Question

1．已知三边长分别为4，5，6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若三棱锥P-ABC体积的最大值为（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 利用正弦定理和余弦定理求出△ABC的外接圆的半径即球的半径，则当P到平面ABC的距离为球的半径时，棱锥的体积最大．

解答 解：设△ABC的最大角为α，则cosα=$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}-{6}^{2}}{2×4×5}$=$\frac{1}{8}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×4×5×sinα$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．
设△ABC的外接圆半径为r，则$\frac{6}{sinα}$=2r，∴r=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．
∴当P到平面ABC的距离d=r时，三棱锥P-ABC体积取得最大值V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•r$=$\frac{1}{3}×\frac{15\sqrt{7}}{4}×\frac{8\sqrt{7}}{7}$=10．
故选：B．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，正余弦定理解三角形，属于中档题．