Question

6．设向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ（其中0＜θ≤π），|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，若（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），则实数k的值为2．

Answer 1

分析 （2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，即可得出．

解答 解：∵（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ（其中0＜θ≤π），|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=2k${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$+（2-k）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2k-4+2（2-k）cosθ=0，
∴（k-2）（1-cosθ）=0对于θ∈（0，π]都成立．
∴k=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．