Question

5．若复数$\frac{a+i}{1-i}$（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|＞3的解集为（　　）

• A． {x|x＞1}
• B． {x|x＜-2}
• C． {x|x＜-1或x＞2}
• D． {x|x＜-2或x＞1}

Answer 1

分析 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值，再由绝对值的几何意义求得不等式|x+a|+|x|＞3的解集．

解答 解：∵$\frac{a+i}{1-i}$=$\frac{（a+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}=\frac{（a-1）+（a+1）i}{2}$为纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=0}\\{a+1≠0}\end{array}\right.$，解得a=1．
∴|x+a|+|x|＞3?|x+1|+|x|＞3，
由绝对值的几何意义可得：x＜-2或x＞1．
∴不等式|x+a|+|x|＞3的解集为{x|x＜-2或x＞1}．
故选：D．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础的计算题．