Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆的右顶点为A．
（1）求该椭圆的方程：
（2）过点D（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的
斜率之和为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=$\frac{c}{a}$，求得a=2，则b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的方程：
（2）则直线PQ的方程：y=k（x-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，
则椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），A（$\sqrt{2}$，0），
由题意PQ的方程：y=k（x-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{2}）-\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²-（4$\sqrt{2}$k²+4$\sqrt{2}$k）x+4k²+8k+2=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}+4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}+8k+2}{2{k}^{2}+1}$，
则y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2$\sqrt{2}$k-2$\sqrt{2}$=$\frac{-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}$，
则k_AP+k_AQ=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\sqrt{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-\sqrt{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2}$，
由y₁x₂+y₂x₁=[k（x₁-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$]x₂+[k（x₂-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$]x₁=2kx₁x₂-（$\sqrt{2}$k+$\sqrt{2}$）（x₁+x₂）=-$\frac{4k}{2{k}^{2}+1}$，
k_AP+k_AQ=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-\sqrt{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2}$=$\frac{-\frac{4k}{2{k}^{2}+1}-\sqrt{2}×\frac{-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}}{\frac{4{k}^{2}+8k+2}{2{k}^{2}+1}-\sqrt{2}×\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}+4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}+2}$=1，
∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．