Question

20．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，则$\frac{b}{a}$的取值范围为（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得$\frac{{b}^{2}}{\frac{a}{c-x}}$•$\frac{{b}^{2}}{\frac{a}{c-x}}$=-1，求出c-x，利用D到直线BC的距离小于a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，即可得出结论．

解答 解：由题意，A（a，0），B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），由双曲线的对称性知D在x轴上，
设D（x，0），则由BD⊥AB得$\frac{{b}^{2}}{\frac{a}{c-x}}$•$\frac{{b}^{2}}{\frac{a}{c-x}}$=-1，
∴c-x=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$，
∵D到直线BC的距离小于a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴c-x=|$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$|＜a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$＜c²-a²=b²，
∴0＜$\frac{b}{a}$＜1，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．