如图所示.面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为ai.此四边形内在一点P到第i条边的距离记为hi.若$\frac{a 1}{1}=\frac{a 2}{3}=\frac{a 3}{5}=\frac{a 4}{7}$=k.则h1+3h2+5h3+7h4=$\frac{2S}{k}$．类比以上性质.体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si.此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．

如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为a_i（i=1，2，3，4），此四边形内在一点P到第i条边的距离记为h_i（i=1，2，3，4），若$\frac{a_1}{1}=\frac{a_2}{3}=\frac{a_3}{5}=\frac{a_4}{7}$=k，则h₁+3h₂+5h₃+7h₄=$\frac{2S}{k}$．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H_i（i=1，2，3，4），若$\frac{S_1}{1}=\frac{S_2}{3}=\frac{S_3}{5}=\frac{S_4}{7}$=K，H₁+3H₂+5H₃+7H₄=（　　）

A．

$\frac{V}{2K}$

B．

$\frac{2V}{K}$

C．

$\frac{3V}{K}$

D．

$\frac{V}{3K}$

分析对三棱锥得体积可分割为4个已知底面积和高的小棱锥求体积，即可得出结论．

解答解：根据三棱锥的体积公式V=$\frac{1}{3}Sh$
得：$\frac{1}{3}$S₁H₁+$\frac{1}{3}$S₂H₂+$\frac{1}{3}$S₃H₃+$\frac{1}{3}$S₄H₄=V，
即S₁H₁+S₂H₂+S₃H₃+S₄H₄=3V，
∵$\frac{S_1}{1}=\frac{S_2}{3}=\frac{S_3}{5}=\frac{S_4}{7}$=k，
∴H₁+3H₂+5H₃+7H₄=$\frac{3V}{k}$，
故选C．

点评本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．

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D．

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