Question

2．对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a₁，a₂，…，a_n，若不等式${（{\frac{1}{a_1}}）^λ}+{（{\frac{1}{a_2}}）^λ}+…+{（{\frac{1}{a_n}}）^λ}＜2$恒成立，求整数λ的最小值．

Answer 1

分析 由$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$＞2，讨论若λ≤1，则有$（\frac{1}{1}）^{λ}+（\frac{1}{2}）^{λ}+（\frac{1}{3}）^{λ}+（\frac{1}{4}）^{λ}$≥1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$＞2，与题意不符；可得λ＞1；当λ≥2时，由a₁，a₂，…，a_n为n个互不相同的正整数值，可得$（\frac{1}{{a}_{1}}）^{λ}+（\frac{1}{{a}_{2}}）^{λ}+…+（\frac{1}{{a}_{n}}）^{λ}$≤$（\frac{1}{1}）^{λ}+（\frac{1}{2}）^{λ}+（\frac{1}{3}）^{λ}+…+（\frac{1}{n}）^{λ}$≤$（\frac{1}{1}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{n}）^{2}$，利用裂项相消法可得$（\frac{1}{{a}_{1}}）^{λ}+（\frac{1}{{a}_{2}}）^{λ}+…+（\frac{1}{{a}_{n}}）^{λ}$=2-$\frac{1}{n}$＜2．由此求得整数λ的最小值为2．

解答 解：∵$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$＞2，
∴若λ≤1，则有$（\frac{1}{1}）^{λ}+（\frac{1}{2}）^{λ}+（\frac{1}{3}）^{λ}+（\frac{1}{4}）^{λ}$≥1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$＞2，与题意不符；
∴λ＞1，
当λ≥2时，由a₁，a₂，…，a_n为n个互不相同的正整数值，
∴$（\frac{1}{{a}_{1}}）^{λ}+（\frac{1}{{a}_{2}}）^{λ}+…+（\frac{1}{{a}_{n}}）^{λ}$≤$（\frac{1}{1}）^{λ}+（\frac{1}{2}）^{λ}+（\frac{1}{3}）^{λ}+…+（\frac{1}{n}）^{λ}$≤$（\frac{1}{1}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{n}）^{2}$
$≤1+\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）n}$=$1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
∴当λ≥2时，不等式${（{\frac{1}{a_1}}）^λ}+{（{\frac{1}{a_2}}）^λ}+…+{（{\frac{1}{a_n}}）^λ}＜2$对任意n个互不相同的正整数a₁，a₂，…，a_n恒成立，
∴整数λ的最小值为2．

点评 本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用裂项相消法求数列的和，是中档题．