Question

17．函数y=$\frac{{{x^2}-x+3}}{x-1}$（x∈[3，+∞））的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 函数化为y=（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+1，（x≥3）．令t=x-1（t≥2），y=t+$\frac{3}{t}$+1，求出导数，判断单调性，即可得到最小值．

解答 解：函数y=$\frac{{{x^2}-x+3}}{x-1}$=x+$\frac{3}{x-1}$=（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+1，（x≥3）．
令t=x-1（t≥2），y=t+$\frac{3}{t}$+1，
由y′=1-$\frac{3}{{t}^{2}}$，当t≥2时，导数y′＞0，函数y递增，
即有t=2即x=3时，取得最小值，且为$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和导数，判断单调性，考查运算能力，属于中档题和易错题．