Question

8．某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记a_n表示第n排的座位数．
（1）确定此看台共有多少个座位；
（2）求数列$\left\{{\frac{a_n}{{n{{（n+1）}^2}}}}\right\}$的前20项和S₂₀．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的定义和通项公式和求和公式，即可得到所求值；
（2）求得$\frac{a_n}{{n{{（n+1）}^2}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）由题可知数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴a_n=2+n-1=n+1（1≤n≤20）．
∴此看台的座位数为$\frac{（2+21）×20}{2}=230$．
（2）∵$\frac{a_n}{{n{{（n+1）}^2}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${S_{20}}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{20}-\frac{1}{21}=1-\frac{1}{21}=\frac{20}{21}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．