Question

18．已知直线l：$ρsin（θ+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}m$，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$
（1）当m=3时，判断直线l与曲线C的位置关系；
（2）若曲线C上存在到直线l的距离等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的点，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d与半径比较即可得出结论．
（2）曲线C上存在到直线l的距离等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的点，可得圆心C（1，0）到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-m\sqrt{3}|}{2}$≤r+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解出即可得出．

解答 解：（1）直线l：$ρsin（θ+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}m$，展开可得：$ρ（\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
化为直角坐标方程：y+$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$m，
m=3时，化为：y+$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$=0，
曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，利用平方关系化为：（x-1）²+y²=3．
圆心C（1，0）到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-3\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{3}$=r，
因此直线l与曲线C相切．
（2）∵曲线C上存在到直线l的距离等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的点，
∴圆心C（1，0）到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-m\sqrt{3}|}{2}$≤$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得-2≤m≤4．
∴实数m的范围是[-2，4]．

点评 本题考查了极坐标方程回去直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．