Question

9．如图，在直三棱锥A₁B₁C₁-ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC₁与平面A₁BA所成的二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，求出$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-4），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，-1，-4），利用数量积求解即可．
（2）$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$是平面ABA₁的一个法向量，求出平面ADC₁的法向量，设平面ADC₁与ABA₁所成二面角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，
则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A₁（0，0，4），D（1，1，0），C₁（0，2，4），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-4），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，-1，-4），
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{{C}_{1}D}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{C}_{1}D}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{{C}_{1}D}|}$=$\frac{18}{\sqrt{20}•\sqrt{18}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（2）$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$是平面ABA₁的一个法向量，
设平面ADC₁的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{AD}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（0，2，4）$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=2y+4z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得y=-2，x=2，
∴平面ADC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（2，-2，1），
设平面ADC₁与ABA₁所成二面角为θ，
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{-4}{2\sqrt{9}}$|=$\frac{2}{3}$，
∴平面ADC₁与ABA₁所成二面角的余弦值为：$\frac{2}{3}$．

点评 利用空间向量的数量积求解异面直线所成角以及二面角，考查空间想象能力以及计算能力．