Question

1．求证：cos（$\frac{5k-1}{5}$π-θ）+cos（$\frac{5k+1}{5}$π+θ）=（-1）^k•2cos（$\frac{π}{5}$+θ）（k∈Z）

Answer 1

分析 根据三角函数的诱导公式，化简证明即可．

解答 证明：cos（$\frac{5k-1}{5}$π-θ）+cos（$\frac{5k+1}{5}$π+θ）
=cos（kπ-$\frac{π}{5}$-θ）+cos（kπ+$\frac{π}{5}$+θ）
=cos[kπ-（$\frac{π}{5}$+θ）]+cos[kπ+（$\frac{π}{5}$+θ）]，
当k为偶数时，原式=cos[-（$\frac{π}{5}$+θ）]+cos（$\frac{π}{5}$+θ）=2cos（$\frac{π}{5}$+θ）；
当k为奇数时，原式=-cos（$\frac{π}{5}$+θ）-cos（$\frac{π}{5}$+θ）=-2cos（$\frac{π}{5}$+θ）；
综上，原式=（-1）^k•2cos（$\frac{π}{5}$+θ），（k∈Z），等式成立．

点评 本题考查了三角函数的诱导公式与分类讨论思想的应用问题，是基础题．