Question

6．已知函数f（x）的定义域为R，且f（2）=2，又函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a、b满足f（2a+b）＜2，则$\frac{b+2}{a+2}$的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{2}{3}$，2）
• B． （-∞，$\frac{2}{3}$）∪（2，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 由已知可得2a+b＜2，又由a＞0．b＞0；画出满足约束条件的可行域，结合$\frac{b+2}{a+2}$的几何意义，可得答案．

解答 解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增，
∵两正数a，b满足f（2a+b）＜2，
又由f（2）=2，即f（2a+b）＜2，
即2a+b＜2，
又由a＞0．b＞0；
故a，b所对应的平面区域如下图所示：

$\frac{b+2}{a+2}$表示动点（a，b）与定点（-2，-2）连线的斜率，
当直线过（1，0）点时，$\frac{b+2}{a+2}$=$\frac{2}{3}$，
当直线过（0，2）点时，$\frac{b+2}{a+2}$=2，
故$\frac{b+2}{a+2}$∈（$\frac{2}{3}$，2），
故选：A．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，直线的斜率公式，线性规划的应用，难度中档．