Question

11．四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由球的球心在四棱锥P-的高上，把空间问题平面化，
作出过正四棱锥的高作组合体的轴截面，利用平面几何知识即可求出高．

解答 解：由题意，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上；
过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示：
其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点，
设PH=h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF，
∴$\frac{OA}{FH}$=$\frac{PO}{PF}$，即$\frac{1}{3}$=$\frac{h-1}{\sqrt{{h}^{2}{+3}^{2}}}$，
解得h=$\frac{9}{4}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了球内切多面体、几何体的结构特征，把空间问题平面化，是解题的关键．