Question

3．已知函数f（x）=|x+1|．
（1）求不等式|2x+1|-f（x）＜1的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥|a-x|+2的解集为非空集合，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，解不等式，综合讨论结果，可得答案；
（2）根据绝对值的性质，求出|x+1|-|a-x|的最大值，进而可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：（1）不等式|2x+1|-f（x）＜1，即不等式|2x+1|-|x+1|＜1，
x≤-1，不等式化为-2x-1+x+1＜1，∴x＞-1，无解；
-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，不等式化为-2x-1-x-1＜1，∴x＞-1，∴-1＜x＜-$\frac{1}{2}$；
x≥-$\frac{1}{2}$，不等式化为2x+1-x-1＜1，∴x＜1，∴-$\frac{1}{2}$≤x＜1，
综上所述，不等式的解集为{x|-1＜x＜1}；
（2）|x+1|-|a-x|≤|（x+1）+（a-x）|=|a+1|，
若关于x的不等式f（x）≥|a-x|+2的解集为非空集合，则|a+1|≥2，
解得：a∈（-∞，-3）∪（1，+∞）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值三角不等式，难度中档．