Question

20．定义N^*在上的函数f（x），对任意的正整数n₁，n₂，都有f（n₁+n₂）=1+f（n₁）+f（n₂），且f（1）=1，若对任意的正整数n，有${a_n}=f（{2^n}）+1$，则a_n=2ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 根据条件求出a_n=f（2ⁿ）+1的表达式，利用等比数列的定义即可证明{a_n}为等比数列，即可求出通项公式．

解答 解：令n₁=n₂=1，得f（2）=1+f（1）+f（1），
则f（2）=3，a₁=f（2）+1=4，
令n₁=n₂=2，得f（4）=1+f（2）+f（2），则f（4）=7，a₂=f（4）+1=8，
令n₁=n₂=2ⁿ，得f（2ⁿ+2ⁿ）=1+f（2ⁿ）+f（2ⁿ），
即f（2ⁿ⁺¹）=1+2f（2ⁿ），
则f（2ⁿ⁺¹）+1=2[1+f（2ⁿ）]，a_n+1=2a_n
所以，数列{a_n}是等比数列，公比q=2，首项a₁=4．
所以a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
故答案为：2ⁿ⁺¹

点评 本题主要考查等比数列的判断和证明，综合性较强，考查学生的计算能力．