Question

4．已知a，b∈（0，+∞），求证：${（{{a^3}+{b^3}}）^{\frac{1}{3}}}＜{（{{a^2}+{b^2}}）^{\frac{1}{2}}}$．

Answer 1

分析 利用分析法证明，即可得出结论．

解答 证明：要证明：${（{{a^3}+{b^3}}）^{\frac{1}{3}}}＜{（{{a^2}+{b^2}}）^{\frac{1}{2}}}$，
只需要证明：（a³+b³）²＜（a²+b²）³．
只需要证明：a⁶+b⁶+2a³b³＜a⁶+b⁶+3a⁴b²+3a²b⁴，
只需要证明：2ab＜3a²+3b²，
只需要证明：3（a-$\frac{1}{3}$b）²+$\frac{8}{3}$b²＞0，
∵a＞0，b＞0，
∴3（a-$\frac{1}{3}$b）²+$\frac{8}{3}$b²＞0．
∴原不等式成立．

点评 本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．