Question

7．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点都在同一个球面上，且该正三棱柱的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，三角形ABC周长为3，则这个球的体积为$\frac{16π}{3}$．

Answer 1

分析 正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．

解答 解：由题意可知：$\frac{\sqrt{3}}{4}•1•$AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴AA₁=2
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
所以外接球的半径为：$\sqrt{\frac{1}{3}+1}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$．
所以外接球的表面积为：4π（$\sqrt{\frac{4}{3}}$）²=$\frac{16π}{3}$．
故答案为：$\frac{16π}{3}$．

点评 本题是中档题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．