Question

19．如图，菱形ABCD的边长为2，△BCD为正三角形，现将△BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′=$\sqrt{3}$，连接CC′，E为CC′的中点．
文科：（1）求证：AC′∥平面BDE；
（2）求证：CC′⊥平面BDE；
（3）求三棱锥C′-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，则OE∥AC′，由此能证明AC′∥平面BDE．
（2）由翻折前后可知BE⊥CC′，DE⊥CC′，由此能证明CC′⊥平面BDE．
（3）连接OE，三棱锥C′-BCD的体积：${V}_{{C}^{'}-BCD}={V}_{{C}^{'}-BDE}+{V}_{C-BDE}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）连接OE，则在菱形ABCD中，O为AC中点，
又E为CC′的中点，∴OE∥AC′，
∵OE?平面BDE，AC′?平面BDE，
∴AC′∥平面BDE．
（2）由翻折前后可知：
BC=BC′，DC=DC′，
又E为CC′中点，∴BE⊥CC′，DE⊥CC′，
又BE∩DE=E，∴CC′⊥平面BDE．
解：（3）连接OE，则由（2）知△CEO为直角三角形，OE⊥BD，
∴BD=2，OE=$\frac{3}{2}$，
∴三棱锥C′-BCD的体积：
${V}_{{C}^{'}-BCD}={V}_{{C}^{'}-BDE}+{V}_{C-BDE}$
=$\frac{1}{3}×{S}_{△BDE}×E{C}^{'}+\frac{1}{3}×{S}_{△BDE}×EC$
=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}×C{C}^{'}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BD×OE×C{C}^{'}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．