Question

已知点P为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右支上一点，F₁，F₂为双曲线的左、右焦点．O为坐标原点，若(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0且△PF₁F₂的面积为2ac（c为双曲线半焦距）则双曲线的离心率为

1+

2

．

Answer 1

分析：根据向量数量积的运算性质，可得|

OP

|=

1

2

|

F1F2

|，得△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形．由双曲线的定义结合勾股定理，算出S_△PF1F2=c²-a²=2ac，将其转化为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率．

解答：解：∵

F2P

=

OP

-

OF2

∴(

OP

+

OF2

)•(

OP

-

OF2

)=

OP

2-

OF2

2=0
可得|

OP

|=|

OF2

|=

1

2

|

F1F2

|，所以△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形
∵|

PF1

|-|

PF2

|=±2a
∴（|

PF1

|-|

PF2

|）²=|

PF1

|²-2|

PF1

|•|

PF2

|+|

PF2

|²=4a²
∵|

PF1

|²+|

PF2

|²=4c²，|

PF1

|•|

PF2

|=2S_△PF1F2，
∴4c²-4S_△PF1F2=4a²，得S_△PF1F2=c²-a²
∵由题意△PF₁F₂的面积为2ac，
∴c²-a²=2ac，两边都除以a²，得

c2

a2

-1=2•

c

a

整理，得e²-2e-1=0，解之得e=1±

2

（舍负）
故答案为：1+

2

点评：本题给出双曲线的焦点三角是直角三角形，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单几何性质、双曲线的离心率定义及其求法等知识，属于中档题．